«Не забудьте», «не забывайте»: слитно или раздельно?

Это глаголы. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда без «не» не употребляются и с приставкой «недо»).  Подробнее о написании «не» с глаголами.

Не забудьте взять с собой молоток.

Не забывайте свои вещи.