«Неграмотный» или «не грамотный»: слитно или раздельно?

Если коротко, то пишется слитно, когда утверждается безграмотность, и пишется раздельно, когда отрицается грамотность.

Он неграмотный. (Утверждается безграмотность).

Он не грамотный. (Отрицается грамотность).

(Этот принцип действует и для наречия «неграмотно»).

Подробное описание

1. Пишутся слитно прилагательные с «не», если они приобретают противоположное значение с «не». В таких случаях, как правило, их можно заменить синонимом без «не».

Примечание. Не всегда удается подобрать подобный синоним, но утвердительный оттенок значения, содержащийся в прилагательном, служит основанием для слитного написания.

Пример:

У нас многие рабочие — неграмотные.

2. Пишется раздельно, если имеется или подразумевается противопоставление.

Пример:

У нас многие рабочие не грамотные, а совершенные неучи.

3. Пишется раздельно, если есть пояснительные слова отрицательных местоимений и наречий (начинающихся с «ни») или сочетаний «далеко не», «вовсе не», «отнюдь не».

Пример:

У нас многие рабочие отнюдь не грамотны.

Примечание 2. При наличии в качестве пояснительного слова наречия «совсем» возможно как слитное, так и раздельное написание, что связано с двумя значениями, в которых употребляется указанное наречие:
1) «совершенно, очень»;
2) «отнюдь», «никоим образом»;

Сравните:

Совсем неграмотный рабочий. (Совершенно безграмотный).

Совсем не грамотный рабочий. (Отнюдь не грамотный).

Двоякое толкование допускает и наречие «вовсе»:
1) «отнюдь»;
2) «совсем, совершенно» — в разговорном стиле речи;

Сравните:

Хотя он и учился в школе, речь его вовсе не грамотна. (Отнюдь не грамотна).

Они поначалу присылали низкоквалифицированных сотрудников, а сейчас и вовсе неграмотных. (Совсем безграмотных).

4. Пишется слитно, если есть наречия меры и степени: «весьма», «очень», «крайне», «почти», «совершенно», наречное выражение «в высшей степени» и т. п.

Их письма оказались совершенно неграмотными.

5. Пишется раздельно в вопросительном предложении, если подчеркивается отрицание:

Не грамотным ли было его рассуждение?

Примечание. Но пишется слитно, если отрицание не подчеркивается:

Разве его речь была неграмотной? (= Разве его речь была с ошибками?)