«Без просыпа»: слитно или раздельно?

Всегда пишется раздельно.

Правило:

Пишутся раздельно употребленные в наречном значении сочетания имен существительных с предлогом  «без» (помимо других).

Пример:

Он пролежал без просыпу весь день.