Не дождусь, не дождешься
Это глаголы. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда без «не» не употребляются и с приставкой «недо»). Подробнее о написании «не» с глаголами.
Примеры:
Жду не дождусь Вашего ответа.
Его вечно не дождешься.
Не дождавшись
Это деепричастие. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда образованы от глаголов, которые без «не» не употребляются и с приставкой «недо»).
Он ушёл не дождавшись ответа
