1. Пишется слитно, если нет зависимых слов.
Пример:
Он вспомнил про нерешённую задачу.
2. Пишется раздельно, если есть пояснительные слова (отвечающие на вопрос кем?, как?, когда? и др.)
Он вспомнил про не решённую учениками задачу.
3. Пишется раздельно, если имеется или подразумевается противопоставление.
Не решённая, а оставленная до завтра задача.
4. Пишется раздельно, если есть пояснительные слова отрицательных местоимений и наречий (начинающихся с «ни») или сочетаний «далеко не», «вовсе не», «отнюдь не».
Пример:
Это отнюдь не решённая задача.
Примечание 2. При наличии в качестве пояснительного слова наречия «совсем» возможно как слитное, так и раздельное написание, что связано с двумя значениями, в которых употребляется указанное наречие:
- «совершенно, очень»;
- «отнюдь», «никоим образом»;
Сравните:
Эта задача совсем нерешённая. (Совершенно нерешённая).
Эта задача совсем не решённая. (Отнюдь не решённая).
Двоякое толкование допускает и наречие «вовсе»:
- «совсем, совершенно» — в разговорном стиле речи;
- «отнюдь»;
Сравните:
У нас бывали недоделанные задачи, но эта и вовсе нерешённая. (Совершенно нерешённая).
Вопреки предположению, задача оказалась вовсе не решённой. (Отнюдь не решённой).
5. Пишется слитно, если есть наречия меры и степени: «весьма», «очень», «крайне», «почти», «совершенно», наречное выражение «в высшей степени» и т. п.
Совершенно нерешённая задача.
6. Пишется раздельно в вопросительном предложении, если подчеркивается отрицание:
Не решённой ли оказалась задача?
Примечание. Но пишется слитно, если отрицание не подчеркивается:
Ведь это же нерешённая задача?