Не спросить
Это глагол. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда без «не» не употребляются и с приставкой «недо»). Подробнее о написании «не» с глаголами.
Он никого не спросил.
Не спросив, не спрашивая
Это деепричастие. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда образованы от глаголов, которые без «не» не употребляются и с приставкой «недо»).
Он вошёл не спросив разрешения.
Он действовал не спрашивая мнение окружающих.
