Не верить
Это глагол. Они пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда без «не» не употребляются и с приставкой «недо»). Подробнее о написании «не» с глаголами.
Он решил никому не верить.
Не веря
Это деепричастие. Они всегда пишутся раздельно с «не». (Кроме случаев, когда образованы от глаголов, которые без «не» не употребляются и с приставкой «недо»).
Пример:
Он продолжал делать по-своему, не веря окружающим.
