«Не забыт»
Это краткое причастие. Они пишутся раздельно с «не» во всех случаях.
Пример:
Ваш подвиг не забыт.
«Не забудь»
Это глагол. Они пишутся раздельно с «не» во всех случаях.
Пример:
Не забудь поблагодарить Николая.
«Незабытый» / «не забытый»
Это полные причастия. Они могут писаться слитно и раздельно.
1. Пишется слитно «не» с полными причастиями, при которых нет пояснительных слов.
Пример:
Незабытое учение вновь обрело популярность.
Незабытое ощущение полета еще долго радовало его.
2. Пишется раздельно, если есть пояснительные слова. То есть, если можно задать вопросы от слова «незабытый» к другим словам: «кем?», «как?», «когда», «с помощью чего?» (но кроме «что?»).
Не забытое монахами учение вновь обрело популярность.
Не забытое тогда учение вновь обрело популярность через века.
Не забытое полностью учение вновь обрело популярность.
3. Пишется раздельно, если имеется или подразумевается противопоставление.
Не забытое, а сохраненное учение.
Я имею ввиду не забытое учение, а его основателей.
4. Пишется слитно при субстантивации (переходе в разряд существительных) независимо от наличия пояснительных слов.
Все то незабытое нами напомнило о себе сейчас.
