1. Пишется слитно, если можно заменить «невзирая на» на «вопреки» или «хотя» с сохранением смысла. Конструкцию предложения и падежи, скорее всего, придется немного поменять.
Пример:
Невзирая на трудности, работа была закончена вовремя. = Вопреки трудностям, работа была закончена вовремя.
Невзирая на то, что шел дождь, все вышли на улицу. = Хотя шел дождь, все вышли на улицу.
В этих случаях перед нами предлог «невзирая на» и союз «невзирая на то(,) что» . Еще один ориентир слитного написания: к предлогам и союзам нельзя задать вопрос.
2. Раздельно пишется, если можно задать вопрос «что делая?». То есть, если это деепричастие «взирая» с предлогом «на» и частицей «не».
Пример:
Царь ехал не взирая по сторонам.
Монах шел не взирая под ноги.
Монах шел что делая? — Не взирая. С частицей «не» вопрос звучит некрасиво. Можно мысленно ее убрать. Шел что делая? — Взирая.
Еще один ориентир раздельного написания: можно заменить «не взирая» на «не глядя».
Монах шел не глядя под ноги.
