Правильно писать «обжора».
Правило
§4.2.б. После шипящих под ударением в корне пишется «е»(«ё»), соответствующее в произношении звуку «о», если в родственных словах или в другой форме того же слова пишется «е» (шёлк — шелковистый); при отсутствии таких соотношений пишется «о».
