Может писаться раздельно или через дефис.
1. Пишется через дефис, если можно задать вопрос «как?», «каким образом?». В этом случае перед нами наречие.
Правило:
Пишутся через дефис наречия с приставкой по-, образованные от полных прилагательных и местоимений и оканчивающиеся на —ому.
Пример:
Этот эксперимент можно провести по-разному.
2. Пишется раздельно, если можно задать вопрос «какому?». В этом случае перед нами прилагательное и предлог.
Пример:
Они пошли по разному пути.
Такое сочетание редко встречается, чаще можно услышать вариант во множественном числе: «Они пошли по разным путям.»
